Статьи

Версия для печати

Все статьи | Статьи за 2010 год | Статьи из номера N6 / 2010

Комбинированные математические методы оптимального управления кредитным портфелем

Готовчиков И.Ф.

Введение
Слово «кредит» происходит от латинского слова credere, т.е. доверяю. К сожалению, судить о доверии кредитора к заемщику в настоящее время сложно в первую очередь из-за растущих невозвратов получаемых заемщиками ссуд. В банковскую розницу вовлекаются все более широкие слои населения. Это еще острее ставит перед кредиторами проблему поиска и внедрения в кредитование методов, позволяющих получать достоверные количественные оценки вероятностей возврата или невозврата кредита каждым заемщиком.

Нужны собственные стандарты и критерии
Анализируя существующие кредитные инструкции даже высокого уровня, можно увидеть, что, например, для первой стандартной категории качества ссуды норматив резервирования равен нулю. Это нонсенс. Дело в том, что невозврат ссуды заемщиком является случайным событием и это не требует отдельных доказательств, хотя, разумеется, они есть. Поэтому всегда существует вероятность невозврата кредита любым заемщиком.

Согласно теории случайных процессов, точность оценки невозврата ссуд 1, 2, 3 и 4-й категорий качества зависит как от наличия или отсутствия невозвращенных ранее ссуд, так и от общего количества выданных ссуд, т.е. от вероятностных характеристик предыдущего поведения заемщика.

Не вернуться в банк может ссуда и 1-й категории качества, и 4-й. Именно поэтому решение кредитора о выдаче (или об отказе) ссуды тем или иным заемщикам должно опираться на вероятностные оценки их поведения.

Современные кредитные технологии, по мнению автора и многих других специалистов, имеют один серьезный недостаток: российские банки попрежнему широко заимствуют зарубежные разработки. Однако зарубежные кредитные технологии разрабатывались для иных заемщиков и для банков совсем не российского типа. К тому же в отечественных банках практически нет специалистов, имеющих опыт работы в зарубежных кредитных организациях.

Зарубежные кредитные модели в лучшем случае требуют очень сложной, длительной и дорогостоящей доработки к российским условиям, в худшем – вообще не годятся для России.

Отечественная банковская система должна выработать собственные стандарты и критерии количественной оценки кредитных рисков.

Управление кредитным портфелем методами теории надежности сложных систем
Обычный кредитный портфель (КП) состоит из подсистем, в качестве которых выступают кредитор и заемщики. Такое положение хорошо вписывается в теорию надежности сложных систем, позволяя использовать ее методы для оптимизации работы КП. Сформулируем основные понятия теории надежности сложных систем применительно к кредитному портфелю.

Надежностью сложной системы является вероятность ее нормального функционирования Р на заданном интервале времени и в заданных условиях функционирования. Из этого классического определения можно сделать вывод: надежностью КП как сложной системы является вероятность возврата кредита заемщиком на заданном временном горизонте и в заданных условиях. Тогда ненадежность КП как сложной системы – это вероятность невозврата кредита заемщиком Q на заданном горизонте времени и в заданных условиях его кредитования.

Интенсивностью невозвратов  называется условная их вероятность в интервале времени  при отсутствии невозврата кредита заемщиком до момента t.

Приведем математические выражения для вышеописанных величин. Надежность КП или одного заемщика можно оценивать с помощью простого классического выражения:

где k – общее число возвращенных кредитов на момент оценки P;
N – общее число выданных кредитов на момент оценки P.

Для оценки ненадежности КП или одного заемщика можно использовать выражение:

где m – общее число невозвращенных кредитов на момент оценки Q.

Более удобными для оценки P, Q и даже среднеквадратического отклонения (СКО) для Q являются выражения, которые учитывают невозврат кредита как редкое событие. Действительно, с одной стороны, каждый заемщик в принципе всегда планирует вернуть кредит. С другой стороны, если невозвраты станут частыми, кредитор откажется от такого заемщика.

С помощью выражений (3), (4), (5) можно оценивать вероятности невозвратов кредитов как редких событий, даже если они еще не произошли [1]:

где  – средние значения надежности и ненадежности КП;
m – общее число невозвратов кредитов на момент оценки
N – общее число выданных ссуд.

Для статистической оценки интенсивности невозвратов кредитов  за время  используется следующее выражение:

где  – число невозвратов кредитов за время  
m – общее число невозвратов к началу интервала

Нас, прежде всего, должны интересовать колебания средней вероятности невозврата кредита  заемщиком по выражениям (3) и (5). Для подтверждения достоверности используемых при оптимизации КП оценок  эти оценки необходимо проверять с помощью соответствующих критериев. Рассмотрим это подробнее.

Проверка достоверности оценки ненадежности заемщика
Из математической статистики известно, что СКО среднего значения случайного процесса – в данном случае это  – оценивается выражением:

где СКО – среднеквадратическое отклонение, полученное по выражению (5);
N – общее число выданных кредитов.

Как уже отмечено выше, в данном случае нас будет интересовать только одностороннее ограничение параметра  относительно его среднего значения  полученного по выражению (3), т. е. оценка только верхних, наиболее опасных значений  так как нижние значимой опасности невозврата кредита не представляют. Поясним это на примере.

Допустим, мы имеем матрицу 12 х12, в которой отражены 12 заемщиков (столбцы матрицы) и 12 последовательных выдач им кредитов с соответствующим числом невозвратов ссуд (это строки матрицы). Такая матрица на 144 кредитных случая с конкретными количественными данными является мини-лабораторией, где можно получать и исследовать практические кредитные матрицы разных размеров. Возьмем из этой матрицы один кредитный случай:  и заемщику уже выдано 6 кредитов, т. е. N = 6.

Проверим достоверность оценки  с помощью расчета для нее верхнего одностороннего доверительного интервала как наиболее опасного для кредитора, поскольку  – максимально возможная вероятность невозврата кредита.

Выберем уровень достоверности расчета 0,99, т. е. вероятность ошибки  В качестве инструмента расчета возьмем t-критерий, более известный среди специалистов как критерий Стьюдента. Из математической статистики известно, что он имеет вид:

Заметим, что в таблице t-критерия число степеней свободы берется на единицу меньше, чем имеющееся N = 6, т. е. N – 1 = 5. Вычисляем экспериментальное значение t-критерия для нашего случая, для чего из таблицы t-критерия находим, что И далее:

Теперь с достоверностью 0,99 верхний односторонний предел для Q будет составлять:

Итак, мы выяснили, что на предварительном ориентировочном уровне для оценки надежности или ненадежности КП и заемщиков можно пользоваться простыми классическими выражениями (1) и (2). Для более точной оценки вышеуказанных величин следует применить выражения (3), (4) и (5).

Чтобы наиболее полно оценивать надежность КП, целесообразно построить эмпирическую функцию распределения (ЭФР) по данным о невозвратах заемщиками полученных ссуд. С появлением новых данных (m, N) производится корректировка ЭФР, тем самым обеспечивается адаптивность этой функции к текущим изменениям в случайном процессе, т. е. в процессе невозвратов кредитов.

С помощью известных критериев согласия (Колмогорова, Пирсона, Мизеса и др.) можно  установить сходство полученной ЭФР невозвратов кредитов с одной из теоретических функций распределения (ФР). Допустим, что мы обнаружили сходство нашей ЭФР с экспоненциальной ФР. Это открывает широкие возможности для управления кредитным портфелем: знать ФР случайного процесса – это значит знать об этом случайном процессе все.  

Приведем выражения для экспоненциальной ФР:

Таким образом, располагая указанной ФР, можно достоверно не только оценивать P, Q и СКО на любом этапе горизонта кредитования, но и прогнозировать показатели КП.

Метод оценки энтропии заемщиков
Числовой характеристикой дискретного распределения невозвратов кредитов, которая может служить мерой неопределенности этого распределения, является энтропия закона распределения. Это понятие было введено К. Шенноном еще в 1948–1950 гг., а название возникло вследствие существования глубоких аналогий между введенной характеристикой и используемым ранее в статистической физике понятием энтропии как функции состояния системы.

Энтропия дискретного распределения (H) оценивается по выражению:

где  – вероятности событий.

Как видим, энтропия зависит не от значений, принимаемых случайными величинами, а лишь от их вероятностей. Можно считать, что все  поэтому функция H всегда определена и является единственной [2].

Столбец матрицы представляет описание одного заемщика при выдаче ему от 1-го до 12-го кредита. Для оценки энтропии этого заемщика используем его вероятностные характеристики после каждого из четырех выданных кредитов, т. е. после 1–4-го, 5–8-го и 9–12-го. Вероятности невозвратов для каждой группы кредитов составляют: для 1, 2, 3 и 4-го – 0,5, 0,5, 0,33, 0,25; для 5, 6, 7 и 8-го – 0,2, 0,16, 0,14, 0,25; для 9, 10, 11 и 12-го – 0,22, 0,2, 0,18, 0,16 (см. табл.).

С помощью выражения (10) вычисляем энтропию рассматриваемого нами заемщика на интервале выдачи ему первых четырех кредитов:

Аналогично для других групп кредитов получаем:

Исходя из оценок, можно заключить, что энтропия на первом интервале значительна, что объясняется еще малой информацией о заемщике. На интервале 9–12 энтропия несколько возрастает из-за невозврата ссуды на седьмом шаге кредитования. То есть видно, что данный метод чувствителен к негативному поведению заемщика. В целом увеличение энтропии заемщика свидетельствует о том, что его состояние становится все более неопределенным и, значит, непредсказуемым.

Показатель «доход–потери»
В процессе кредитования могут возникать затруднения при принятии решений о выдаче (или об отказе) кредита тому или иному заемщику. Особенно остро стоит этот вопрос на начальных этапах кредитования, когда невозврат даже одной ссуды может существенно ухудшить финансовое состояние кредитора. На этих этапах кредитования целесообразно использовать залоги и другие защитные финансовые инструменты.

Важно знать интегральную характеристику кредитного портфеля по показателю «Накопленный доход–Накопленные потери» (W), который может сыграть главную роль при принятии решения о выдаче кредита.

Рассмотрим динамику этого показателя по той же матрице: 12 заемщиков × 12 выданных кредитов. Выдача 1-го кредита дает W =180%, 2-го – 195%, 3-го – 79%, 4-го – 119%, 5-го – 164%, 6-го – 213%, 7-го – 213%, 8-го – 266%, 9-го – 446%, 10-го – 376%, 11-го – 432%, 12-го – 489%. Зная эти показатели, кредитор может принять правильное решение о выдаче ссуды. Например, при 3-м кредите надо быть очень осторожным, так как запас дохода минимален и в случае невозврата кредита потери могут превысить доход. При 9-м кредите уже допустимо рисковать – даже при невозврате потери существенно не изменят финансовое состояние кредитного портфеля.

Комбинированные методы оценки заемщика
Под комплексными методами понимаются такие, при которых имеется набор отдельных методов и все они используются (как правило, каждый со своим весом). Под комбинированными понимаются методы, при которых также имеется набор отдельных методов, но для получения оценки используется лишь один.

В данном случае имеется набор отдельных методов оценки заемщика, но все они настолько разнородны, что сводить их в одну комплексную оценку недопустимо. Поэтому применим комбинированные оценки (табл. 1).

Во втором столбце таблицы приведены оценки вероятностей возврата кредита (P), т. е. надежности заемщика. Так, при невозврате 7-й ссуды перед выдачей 8-й надежность этого заемщика снижается с 0,86 до 0,75. Третий столбец – это оценки вероятностей невозврата (Q), т. е. ненадежности заемщика. Так, вероятность невозврата перед выдачей 7-й ссуды составляла 0,14, но когда ее заемщик не возвратил, перед выдачей 8-й ссуды вероятность невозврата выросла до 0,25.

Надо заметить, что надежность и ненадежность заемщика связаны между собой выражением P + Q = 1, ибо P и Q образуют полную группу событий: зная одно из этих слагаемых, всегда можно вычислить другое. Однако опыт работы с такими вероятностями показывает, что при P > 0,5 лучше использовать оценки надежности заемщика, а при Р < 0,5 – оценки ненадежности, как наиболее опасные для кредитора. В этом случае кредитор может заранее рассчитать оценку своих потерь в случае невозврата кредита и принять соответствующее решение.

Так, после невозврата 7-го кредита максимальные потери банка в случае невозврата и  последующей ссуды составят:

Или с вероятностью 0,99 потери могут составить:

где 100% – потерянный кредит, а 25% – потерянный резерв. Отметим, что СКО для оценок  рассчитывалось по выражению (7).

В четвертом столбце приведены оценки энтропии заемщика. Каждая рассчитывалась по четырем оценкам вероятностей невозвратов, т. е. за 1–4-й, 5–8-й и за 9–12-й кредиты. Видно, что энтропия заемщика возрастает при наличии у него невозвратов (см. 7-й и 8-й кредиты).

В пятом столбце приведены оценки показателя W, который является текущей разностью между накопленным доходом и накопленными потерями. На этот показатель следует обратить особое внимание при принятии решений о выдаче (или об отказе) заемщику кредита. Например, принимать положительное решение после выдачи 3-й ссуды опасно, так как невозврат кредита может сделать накопленные потери КП выше накопленных доходов. А при выдаче 10-й ссуды риск кредитора минимален и поэтому оправдан.

Таким образом, используя такую матрицу, можно понять финансовое состояние заемщика и принимать правильные кредитные решения.

Выводы
В статье предложены комбинированные методы количественной оценки внутреннего рейтинга каждого заемщика, что в терминах Базеля II соответствует IRB(InternalRaitings-basedApproach).

Эти методы позволяют реализовать более эффективное кредитование заемщиков как за счет точных вероятностных оценок невозвратов ссуд, так и за счет минимизации резервов на выдаваемые кредиты.

Литература
1. Кузьмин Ф.И. Задачи и методы оптимизации показателей надежности. – М. : Сов. Радио, 1972. – С. 202–204.
2. Хинчин А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // Успехи мат. наук. Т. 8. Вып. 3. – М. : МГУ, 1953. – С. 3–20.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/



Все права принадлежат Издательству «Финпресс» Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом материалов допускается только с письменного разрешения Издательства «Финпресс».