Статьи

Версия для печати

Все статьи | Статьи за 2003 год | Статьи из номера N5 / 2003

Математический анализ стратегий поведения на рынках капитала

Готовчиков И.Ф.,

кандидат технических наук

Введение

Современные рынки капитала (РК) характеризуются своей непредсказуемостью, малопонятными скачками цен и трендов, внезапными падениями и взлетами. Причины такого поведения РК к настоящему времени еще не разгаданы. Существующая теория эффективного рынка в ряде работ подвергается серьезной критике. Однако разработка выдвинутой ей на замену теории фрактального рынка еще не завершена и нет убедительных доказательств ее практической полезности.

В современных условиях РК является неотъемлемой частью финансового сектора экономики. Этот рынок характеризуется особой организационно-функциональной спецификой, обеспечивая трансформацию сбережений в инвестиции и выбор направлений их производительного использования. РК является регулятором многих стихийно протекающих в рыночной экономике процессов. В этом плане можно говорить о том, что именно РК с сопутствующей ему системой финансовых институтов представляет собой ту сферу, в которой формируются основные источники экономического роста, концентрируются и распределяются необходимые экономике инвестиционные ресурсы. В этой связи РК и особенности его функционирования, сами ценные бумаги, их различия и предназначенность в экономике, закономерности их обращения и целевые аспекты операций с ними требуют постоянного изучения и анализа.

Таким образом, РК в современных условиях становится основным системообразующим элементом финансового сектора российской экономики, причем банковский сектор медленно, но верно уступает РК роль механизма перераспределения капиталов.

Международной тенденцией также является сокращение доликоммерческих банков (КБ) в финансовых активах и рост доли институтов РК иинституциональных инвесторов. В конечном счете примерно с 1980-х годов вразвитых странах финансирование затрат путем эмиссии ценных бумаг получаетпревалирующее значение по сравнению с банковским кредитом [1].

В структуре инвестиций в российскую экономику заемныесредства составляют лишь 10—12%, что в 2—3 раза меньше, чем в государствах сразвитыми рыночными системами. Это значит, что современные российскиепредприятия основным источником финансирования своей деятельности считаютсамофинансирование. Однако объем средств, находящихся в распоряжении этихпредприятий, недостаточен для решения сложных задач реформирования экономикистраны [2]. Поэтому современная стратегия Правительства и Банка Россиинаправлена на то, чтобы и КБ, и инвестиционные компании в полной мере выполнялибы свою основную функцию — кредитование экономики. Эта стратегия активизировалаработу российских РК, что отмечено и международнымрейтинговым агентством Moody`s, которое недавнозаявило о возможности скорого повышения суверенного рейтинга России на РК.

Российская экономика длительное время была плановой, и лишьнедавно статус российской экономики признан международным экономическимсообществом как рыночный. Это значит, что российская экономическая науканаходится в стадии становления, и поэтому разработка математических методов дляэтой экономики вообще и для РК в частности является чрезвычайно актуальной.Так, например, ряд отечественных и зарубежных ученых доказали, что достоверныепрогнозы на РК не только возможны, но и являются мощным средством управленияинвестиционным процессом.

Обзор и оценка некоторых результатов
математических исследований зарубежных рынков капитала

В работе [3] достаточно полно рассмотрены основные результатыматематических исследований зарубежных рынков капитала с конца XIX по конец XXвека. Поэтому в данном разделе используются положения, выводы и гипотезы зарубежныхматематиков, полученные ими за указанный период исследований РК.

Рассмотрим сначала результаты, которые вызывают ряд вопросови поэтому являются спорными.

А. Согласно гипотезе эффективного рынка (ГЭР или EMH — Efficient Market Hypothesis) известно, что:

  • увеличение количества наблюдений над ценовыми изменениями неизбежно приводит к распределению Гаусса (Gauss) и является основой для нахождения оптимальных линейных решений;
  • наблюдения над ценовыми изменениями являются независимыми или случайными блужданиями, когда прибыль сегодня не зависит от прибыли вчера;
  • дисперсии наблюдений конечны.

С другой стороны, согласно гипотезе фрактального рынка (ГФРили FMH — Fractal Market Hypothesis) известно, что допускается концентрация«долговременной памяти», т. е. одно событие может влиять на РК долго, в товремя как ГЭР допускает только возможность «короткой памяти».

Если по ГФР это даже так, то это еще не является причинойпрекращения использования ГЭР и ее хорошо отработанных линейных моделей.Например, можно использовать ряд известных методов декоррелирующихпреобразований рыночных ценовых рядов, исключения коллинеарностии мультиколлинеарности и др. Так, в работе [4]детально описаны методы регуляризации при плохо обусловленной информационнойматрице.

Б. В работе [3] отмечается (стр. 42), что изменения в ценах не соотносятся между собой, разве что для очень коротких временных промежутков. Это значит, что прогноз таких цен возможен в очень малом временном диапазоне.

С другой стороны, из работы с уважением упоминаемого в [3] А.Н. Колмогорова известно, что любое будущее значение несингулярнойстационарной случайной последовательности может бытьпредставлено комбинацией ее предыдущих членов. А. Н. Колмогоров показал, чтоошибка прогноза в этом случае имеет предел, и нашел выражение для этого предела[5].

В. Предлагаемые в [3] в рамках ГФР нелинейные модели РК всегда имеют множество решений. Поэтому при применении этих моделей возникает проблема выбора варианта решения, которую приходится решать вне рамок нелинейной модели.

Вообще, использовать линейные или нелинейные модели РК — этовопрос второй. Первично здесь — какова ошибка прогноза той или другой моделью,и нелинейная модель здесь не панацея. Кроме того, известно,что нелинейные модели очень сложны и структурно, и в реализации, ибо, например,соответствующие интегралы надо брать численными методами и др. Как показано в[6], нелинейные модели, несмотря на их высокую сложность, по сравнению слинейными моделями дают незначительный выигрыш в точности прогноза порядка0,1—2% и этот выигрыш может быть поглощен выбором неверного варианта решения,вычислительными ошибками, вызванными, например,неоднократным обращением матриц и др.

И. Идельсон [7] и Паккард (Packard, 1986) в [3] доказали, что применение линейных методовдля оценки нелинейных зависимостей возможно, если ошибка оценки искомойхарактеристики случайного процесса приемлема.

Г. ГЭР в качестве меры риска использует дисперсию или среднеквадратическое отклонение (СКО) прибылей, что не совсем корректно, ибо СКО зависит не только от рассеяния прибылей, но и от количества обработанных наблюдений, т.е. от n. Это значит, что могут возникать ситуации, когда высокий «риск» является следствием малого n, а не действительно высокого риска, и наоборот.

Более того, в [3] на стр. 36 приведено выражение 2.1 дляоценки дисперсии, которое вообще не содержит n (?).Что это — банальная ошибка перевода или нечто большее?

Таким образом, использование дисперсии и СКО как меры рискана РК нецелесообразно, и неудивительно поэтому, что ряд авторов доказали, чтотрадиционный компромисс между риском и прибылью не всегда имеет место.

Д. Полусильная версия ГЭР [3] утверждает, что:

  • рациональные инвесторы желают среднедисперсной эффективности. Риск измеряется как СКО прибыли. Инвесторы не любят рисковать и предпочитают активы, которые дают максимальную ожидаемую прибыль при заданном уровне риска;
  • рынок является эффективным, ибо цены отражают всю публикуемую информацию. Изменения в ценах не соотносятся между собой, разве что для очень коротких промежутков времени. Стоимость определяется консенсусом большого числа фундаментальных аналитиков;
  • вследствие вышеизложенного цены следуют случайному блужданию, т. е. их вероятностное распределение нормально или логонормально. В свою очередь, это означает, что распределение прибылей имеет среднюю и конечную дисперсию.

С теоретической и практической точек зрения эти положения ГЭРвызывают сомнения. Во-первых, как было показано выше (см. п. Г), использованиедисперсии или СКО как меры риска обосновано недостаточно. Во-вторых,эмпирические исследования формы распределения прибылей показали, что далеко невсегда эти прибыли имеют нормальное распределение («лептоэксцесс»и др.).

Все это означает, что модель РК должна быть адаптивной, а вкачестве меры риска целесообразно использовать СКО ошибки прогноза будущей цены(см. раздел 3).

Е. Как уже было отмечено в п. Д и в соответствии с результатами исследований Тернера и Вайгеля (Turner, Weigel, 1990), распределение прибылей имеет отрицательную асимметрию и большую плотность в окрестности среднего значения, а также в областях очень больших и очень малых прибылей («толстые хвосты»).

В связи с этим следует отметить, что, как правило,эмпирическое распределение признака практически никогда не совпадает с одним изтеоретических распределений. Причиной этого обычно являются недостаточноеколичество статистических данных, неправильная их группировка, неаккуратнаяобработка и др. Поэтому выводы указанных авторов о несоответствии полученныхэмпирических распределений нормальному вызываютсомнения.

Возникает вопрос, что мешалоуказанным авторам для установления степени соответствия эмпирическихраспределений нормальному использовать более убедительные методы, такие, каккритерий Колмогорова, «хиквадрат» (E. S. Pearson), критерийВ. И. Романовского, критерий Мизеса (R. von Mises), графические методы спомощью вероятностной бумаги и др.?

Ж. В главе 6 работы [3] указывается, что «временной ряд только тогда будет случаен, когда он является следствием большого количества равновероятных событий».

В то же время в работе [8] доказано несколько другое, т. е.утверждается, что при взаимном наложении уже 5—6 (!) и более случайных потоковрезультирующий поток становится сколь угодно близким к гауссовскому.

З. В работе [3] отмечается, что «фрактал есть некоторая самоотнесенность или самоподобие» (стр. 69). Более полно фрактал характеризуется как «аттрактор (предельное множество) порождающего правила (информационного процессора). Это некоторое самоподобие, в котором меньшие части соотносятся с целым» (стр. 76).

В то же время существует теория подобия, и определенияфракталов никак не соотносятся с этой теорией.

И. Автор работы [3] в соответствии со своей нелинейной парадигмой ГФР утверждает, что реакция инвесторов на новую информацию следует не сразу, а с задержкой, что автор называет нелинейной реакцией в противовес реакции инвесторов при ГЭР, когда эта реакция осуществляется сразу.

Вызывает сомнение то, что задержка в реакции есть явлениенелинейное. Другими словами, получается, что задержка в использованииинформации преобразует явление из аддитивного (как приГЭР) в мультипликативное (как при ГФР).

К тому же известно, что сама информация даже при ГЭРпоступает с задержками, в виде «сгустков» и др., и этотем не менее признается линейным использованием информации, хотя точнее — это задержаннолинейная реакция.

Рассмотрим теперь положительные результаты математическихисследований РК с предложениями автора этой статьи по их улучшению.

К. Важным является вывод в работе [3] о том, что случайные блуждания означают высокую неопределенность на рыночной площадке и подразумевают потерю силы в экономическом росте.

Л. В работе [3] проведен обзор основных результатов исследований зарубежных РК с конца XIX по конец XX века. В этой работе развивается ГФР, однако ряд ее положений свидетельствует о том, что переход от ГЭР к ГФР является преждевременным по следующим причинам:

  • отсуствуют убедительные количественные доказательства преимуществ использования на РК нелинейных моделей вместо линейных;
  • «фракталы описывают, но не объясняют», — пишет автор этой работы. (очевидно, имеется в виду, что математики описывают, а экономисты объясняют);
  • практическое применение ГФР неизвестно, так как все опрошенные на этот предмет фирмы конкретных результатов не представляют;
  • «данная методология (имеется ввиду ГФР, стр. 189), оставаясь еще в младенчестве, по новому осветила функционирование РК, однако еще не создала возможности предсказаний».

Поэтому в разделе 3 и предлагается прогнозирущаясистема для РК.

М. Главной нерешенной до настоящего времени проблемой математических методов на РК является предсказание резких подъемов и спадов этих РК или предсказание приближения хотя бы одного большого нелинейного (неожиданного) события, и ГФР эту проблему также не решает.

Современная теория случайных процессов, развитая рядомизвестных ученых, и прежде всего А. Н. Колмогоровым,утверждает, что любое очередное значение случайного процесса может бытьпредсказано в виде комбинации его предыдущих значений. Это значит, что прогнозподъемов и спадов на РК в принципе возможен. Можно предположить, что в случае сРК невозможность прогноза резких подъемов и спадов РК связана с потерейинформации о случайном процессе. Поэтому для исключения потери информации осуществующем на РК случайном процессе (временные ряды цен) целесообразноиспользовать теорему Котельникова, согласно которой отсутствие потериинформации обеспечивается при условии, что частота замера признака исследуемогослучайного процесса превышает удвоенную наивысшую частоту флюктуаций. Данныйметод неоднократно использовался автором этой статьи практически и опубликованв ряде его работ с обоснованием с помощью спектральной теории случайныхпроцессов [9, 10].

Н. Автор работы [3] не рассматривает роль человека на РК не только как звена во многом определяющего состояние РК, но и как звена, меняющего структуру самого РК. Поведение человека вообще и в таких сложных динамических системах, как РК в частности математически еще не описано. Поэтому попытки автора решить на РК все с помощью математики пока не имеют перспективы. Действительно, стоит, например, отметить, что из-за банкротства постоянно покидает РК большое количество его участников, и на их место приходят новые экономические агенты. Иначе как объяснить тот факт, что согласно исследованиям Шейнкмана и Ле Барона (Scheincman, Le Baron, 1986) показатель фрактальной размерности на РК изменяется от величин между 0 и 1 до обескураживающих величин порядка 5 или 6.

В этих условиях в разделе 3 признано целесообразнымприменение на РК перцептронных систем распознавания.

О. В работе [3] отсуствуют конкретные цели, которые должны быть достигнуты. Все исследования автора излагаются с целью доказать, что ГФР лучше ГЭР. Поэтому необходимо отметить следующее.

Современный РКперенасыщен случайными факторами. Это значит, что предсказать точное значениекаждой цены невозможно. Поэтому в условиях случайных процессов можнореализовать только оптимальное в среднем поведение, и этого никогда и никто неизменит никакой гипотезой. Главной задачей здесь должно быть повышение точностипрогноза цен на РК. Решение этой задачи и предложено в разделе 3.

П. В заключение отметим еще некоторые результаты исследований зарубежных математиков, которые способствуют созданию описанной в разделе 3 прогнозирующей и распознающей системы:

  • Херст (H. Hurst) показал, что большинство естественных явлений следуют смещенному случайному блужданию или тренду с шумом. Сила тренда и уровень шума могут быть оценены по изменениям нормированного размаха (R/S) или же по тому, насколько величина показателя Херста больше 0,5.

    Прогноз рыночных цен в таких условиях возможен на основе хорошо развитых методов теории оптимальной фильтрации сигнала на фоне шума, что и предлагается в разделе 3;

  • согласно ГФР наблюдения во временных рядах не являются независимыми, и каждое наблюдение несет в себе память о всех предшествующих событиях. Это не кратковременная память, которую часто называют «марковской», это долговременная память, которая теоретически сохраняется всегда. Разумеется, недавние события оказывают более сильное влияние, чем события отдаленные. То, где мы находимся сегодня, зависит от того, где мы были в прошлом.

    Все это учтено в разделе 3 при разработке прогнозирующей системы;

  • и, наконец, в ряде работ [3] показано, что временные ряды на РК могут не иметь дисперсии при значении показателя Херста более 0,5, что делает использование СКО как меры риска бесполезным и ошибочным.

В описанной в разделе 3 прогнозирующей системе в качествемеры риска предлагается использовать СКО ошибки прогноза цен.

Прогнозирующая система для рынков капитала

Обоснование необходимости разработки прогнозирующей системы

Прогноз — это научное (т. е. основанное на системе фактов идоказательств, устанавливающих причинно-следственные связи) выявление вероятныхпутей и результатов предстоящего развития явлений и процессов для более илименее отдаленного будущего [11].

Целесообразность прогноза на РК очевидна. Без прогнозаценовых изменений на РК инвесторы вынуждены принимать решения по значению цен водном временном сечении, что не гарантирует отсутствия ошибочных решений, ибопри наличии большого числа изменяющихся во времени случайных факторов значениецены в данный момент вовсе не означает, что такое же значение цены останется ив будущем. Некоторые инвесторы принимают решения со смещением, т. е. послеполучения дополнительной информации о сохранении тренда цены, но и это,разумеется, не спасает от ошибочных решений. Все это значит, что при наличииизменяющихся во времени случайных факторов решения инвесторов должны опиратьсяна достоверный прогноз цен.

Одним из условий реализации эффективного прогноза цен на РКявляется наличие связи между настоящими и будущими ценами. При наличии такойсвязи или, как еще говорят, систематической составляющей в исследуемомслучайном процессе прогноз реализуется достаточно просто, и вся проблема здесьможет заключаться в периоде прогноза.

Однако цены на РК в значительной степени определяютсявнешними факторами, влияние которых случайно по моменту возникновения,длительности и интенсивности. Причем момент «обвала» на РК не всегда можносопоставить с влиянием определенных факторов. Это значит, что даженезначительные колебания факторов играют роль своего рода «генераторов»случайного хода процесса, приводящего РК к «обвалу».

Для осуществления прогноза цен на РК возможно использованиелинейных методов прогноза, обеспечивающих приемлемую точность прогноза принезависимости и гауссовском характере распределенияисходных и получаемых оценок. Серьезные недостатки нелинейных методов прогнозадостаточно полно описаны в разделе 2-В.

Вышеизложенноесвидетельствует о необходимости разработки для РК прогнозирующей системы.

Выбор и обоснование структуры прогнозирующей системы

Прогнозирующая система (ПС) состоит из ряда отдельных методовпрогноза. Проведенные исследования по отбору в ПС существующих методов прогнозахарактеристик дискретных случайных процессов,пригодных для прогноза цен на РК, и анализ их результатов показали, что многиеизвестные методы прогноза для указанной цели неприемлемы:

а) классические полиномы Лагранжа, Ньютона, Чебышева из-за отсутствия адаптации к прогнозируемому процессу;

б) метод группового учета аргументов из-за своей эвристичности;

в) метод канонических разложений из-за сильной зависимости прогноза от нулевого приближения и др.;

г) исследование эффективности прогноза на основе дискретного варианта фильтра Калмана показало, что в отдельных случаях этот фильтр дает хорошие результаты. Однако при практическом применении этого метода для прогноза возникает зависимость точности прогноза от начальных условий, сбоем ЭВМ и др., что может приводить к расхождению фильтра. Кроме того, в результате возможных сбоев ЭВМ матрица усиления фильтра может произвольно меняться, что, в свою очередь, может приводить к нарушению оптимальности фильтрации и прогноза. Так как в процессе работы на РК могут быть любые начальные условия и трудно надеяться на полное отсутствие сбоев ЭВМ, использование этого метода признано нецелесообразным. К тому же моделирование показало, что по качеству прогноза дискретный вариант фильтра Калмана незначительно превосходит алгоритмы адаптивного экспоненциального сглаживания (ЭС), в то время как фильтр Калмана гораздо сложнее в реализации.

На основании проведенного анализа для формирования структурыПС были отобраны следующие методы прогноза.

Группа методов ЭС

Методы ЭС впервые были предложеныР. Брауном (R. Brown) для поиска подводных лодок. ЭС по Брауну основано напредположении, что прогнозируемое значение некоторой функции может бытьвыражено рядом Тейлора. Члены ряда Тейлора выражаются формулами ЭС 1, 2, ...порядка. Прогноз на основе оператора ЭС дает хорошие результаты для процессовсо стационарными и независимыми первыми приращениями.

Центральным моментом при выборе оператора ЭС являетсяопределение постоянной ЭС, лежащей в диапазоне 0—1. Для процессов, сильноискаженных помехой, постоянная ЭС выбирается малой, адля процессов с низким уровнем помех — большой.

При прогнозировании характеристик реальных случайныхпроцессов соотношение сигнала и помех может меняться во времени. К тому же всамом процессе могут возникать скачки и сдвиги, что для цен на РК оченьхарактерно. В этих случаях оператор ЭС будет долго «выходить» на новый уровеньпроцесса, и, естественно, качество прогноза заметно снизится. Это требует применения адаптивных алгоритмов ЭС, автоматическименяющих величину постоянной ЭС в зависимости от характера прогнозируемогопроцесса. Для автоматической регулировки скорости реакции оператора ЭСна возможные изменения в процессе может также использоваться следящий сигнал[12].

Группа автокорреляционных методов

Данные методы обеспечивают прогнозирование характеристик стационарного случайного процесса, корреляционная функциякоторого известна. Критерием оптимальности методов является минимум СКО ошибкипрогноза. Для случая отсутствия шумов и стационарности прогнозируемого случайногопроцесса наилучшим прогнозом с упреждением t являетсятекущее значение процесса, взятое в масштабе exp(-а t ), где Т = 1/а — значениесреднего времени корреляции процесса.

Если же прогнозируемый случайный процесс существенно искаженпомехой типа «белый шум» (см. в [3] «случайные блуждания» на РК), то наилучшимпрогнозирующим фильтром будет апериодическое звено с коэффициентом усиления,экспоненциально падающим с ростом интервала упреждения.

Группа методов авторегрессии

Теоретической основой этих методов является работа А. Н.Колмогорова [5], более детально изложенная в 2-Б. Опуская громоздкие выкладки,отметим, что проведенные оценки показали, что практически для всех видов стационарных случайных процессов оптимальным количествомчленов предыстории является 2—4. Дальнейшее увеличение предыстории почти неприводит к увеличению точности прогноза.

Адаптивная фильтрация и прогнозирование

Классические фильтры Колмогорова-Винера, Калманаи др. дают хорошие оценки, если заранее известны характеристики сигнала и шума,на основе которых и синтезируются эти фильтры. При использовании методаадаптивной фильтрации характеристики прогнозирующего фильтра постоянноуточняются в процессе работы фильтра по поступающей информации, ибохарактеристики сигнала и шума здесь заранее неизвестны. Поэтому если априорнойинформации о характеристиках сигнала и шума мало или ее нет вообще, топрименение адаптивных фильтров для реализации прогноза — единственнаявозможность [13—19].

Работа методов адаптивной фильтрации заключается в итерационномподборе весов предыдущих наблюдений. Основным критерием качества прогноза здесьтакже является минимум СКО ошибки прогноза. Для стационарного ряда цен на РКкорреляционные моменты постоянны и СКО ошибки прогноза есть квадратичнаяфункция весов наблюдений. Эта функция может быть изображена как поверхностьтипа «чаша», т. е. параболическая функция от переменных весов наблюдений. Цельадаптации — найти минимум СКО ошибки прогноза (т. е. дно «чаши») путемитерационных уточнений весов наблюдений. В более общемнестационарном случае указанная параболическая поверхность также имеет вид«чаши», но дно этой «чаши», соответствующее минимуму СКО ошибки прогноза,постоянно перемещается. При обработке временных рядов цен на РК, искаженныхшумами (ошибки измерений), процесс нахождения оптимальных весов наблюденийнесколько усложняется. Физическая сущность процесса адаптации в этом случаезаключается в том, что шум делает поверхность «чаши» неровной и поэтомуградиентный спуск к дну «чаши» по неровной поверхности требует особеннотщательного выбора «обучающей» константы и некоторого увеличения числаитераций.

Комплексирование прогнозов

Первое упоминание о комплексировании прогнозов встречается втрудах Лапласа в 1818 г. В XX веке эта идея получила дальнейшее развитие втрудах отечественных и зарубежных ученых [20 — 32 ].Тем не менее практическое внедрение комплексногопрогноза в каждом случае требует серьезных исследований.

Известно, что характеристики случайных процессов зависят отцелого ряда причин. Отдельное прогнозирование характеристик таких процессов покаждой из причин будет несбалансированным. Поэтому прогноз характеристикслучайных процессов целесообразно осуществлять в единой логическинепротиворечивой системе моделей. Достоинством таких моделей является внутренняясогласованность модельных прогнозов, что является следствием учета различных существенно важных для объекта исследований взаимосвязей. Вэтом случае зависимость результата от ряда сделанных предположений выступает вявном виде. Это облегчает анализ получаемых оценок прогноза и дает возможностьдля целенаправленного генерирования новых вариантов прогноза, связанных сизменением первоначально принятых условий [11].

Если исследуемый объект адекватно отображается ивоспроизводится моделью, то последняя как бы содержитв себе множество вариантов поведения такого объекта и, следовательно, вопределенных рамках может заменять исследуемый объект.

Как показывает проведенный в [3] анализ, случайные процессына РК могут быть самыми различными. Поэтому один единственный метод прогнозахарактеристик таких процессов не может решить задачи реализации эффективногопрогноза. Очевидно, что для решения такой совокупности задач прогнозанеобходимо иметь и совокупность методов прогноза, способную адаптироваться кконкретному типу случайного процесса.

К настоящему времени разработано много методов прогнозахарактеристик случайных процессов. Однако результаты прогноза этими методами невсегда удовлетворяют нас по точности, периоду прогноза и др. Причиной этогоявляется то, что в реальной действительностиобрабатываемые случайные процессы не всегда соответствуют требованиям,предъявляемым к ним со стороны прогнозирующих фильтров. Поэтому, в принципе, ниодин отдельно взятый метод прогноза не может полностью решить проблему прогнозированияхарактеристик различных случайных процессов. Этопородило идею объединения отдельных методов прогноза в некоторую системуметодов (коллектив).

Итак, определенную совокупность существующих методов прогнозацелесообразно объединить в единую логически непротиворечивую систему методов,которую в дальнейшем будем называть прогнозирующей системой (ПС), способнойдавать устойчивый и приемлемый по точности прогноз в широком диапазонехарактеристик случайных процессов.

Вышеизложенное позволяет утверждать, что:

а) лучшего во всех ситуациях метода прогноза не существует;

б) лучший метод прогноза меняется при изменении характера случайного процесса;

в) лучший метод прогноза может меняться при изменении критерия оценки качества прогноза.

Рассмотрим теперь ряд предпосылок, подтверждающих возможностьсоздания ПС:

а) прогноз базируется на систематической информации, имеющейся в исследуемом случайном процессе. Несомненно, что более полно такую информацию могут выделить несколько различных методов прогноза;

б) известно, что ошибка среднего арифметического независимых равноточных наблюдений в корень квадратный из числа этих наблюдений меньше ошибки отдельного наблюдения. Это значит, что ПС может дать повышение точности прогноза, причем наилучший прогноз будет при полной независимости и равноточности отдельных прогнозов;

в) оценки коэффициентов уравнений авторегрессии (АР) осуществляются по методу наименьших квадратов (МНК), что является эффективным, так как МНК дает хорошие результаты, если с его помощью оценивается какая-то величина по ряду ее значений, измеренных с ошибками. При использовании МНК для комплексирования оценок от различных методов прогноза ситуация аналогична, так как постоянной для данного шага прогноза величиной является действительное значение прогнозируемого сигнала, а в качестве ряда измерений этого сигнала с ошибками — оценки прогнозируемого сигнала с помощью различных методов прогноза.

Важным моментом при разработке модели ПС является обеспечениеее разумного физического толкования.

Построение ПС по структуре и принципам организации прогнозанапоминает структуру 3-слойного перцептрона. Рольвоспринимающего или сенсорного слоя в ПС выполняют различные методы прогноза(сенсорное поле ПС). Роль ассоциативных элементов в ПС выполняют комплексные методыпрогноза, которые реагируют на совокупности прогнозов различными методами. И,наконец, роль реагирующего элемента выполняет оператор выбора наилучшегопрогноза.

Как и перцептрон, ПС являетсястатистической системой, где в качестве детерминированных датчиков используютсяотдельные прогнозирующие фильтры, настроенные на прием (выделение) определенныхсистематических составляющих обрабатываемого сигнала, напримеравтокорреляционной связи и др. Элементы таких систем соединяются всемивозможными связями.

Из трудов Розенблатта(Rosenblatt) известно, что только «бесконечный» перцептрон, т. е. перцептрон,имеющий бесконечное число связей, может работать без начальной организации.Реальные перцептроны, как и ПС, требуют начальнойорганизации. В процессе этой организации устанавливаются веса каждого датчика(метода прогноза) в формировании выходного сигнала (прогноза). Необходимая дляначальной организации ПС статистическая информация на РК всегда имеется [3,33].

ПС по принципу перцептрона является иерархической. С одной стороны,иерархичность ПС связана с тем, что на первом нижнем уровне формируютсяобобщенные признаки в каждом из входящих в ПС методе прогноза. На втором,верхнем, уровне на базе этих обобщенных признаков принимается решение путем ихвесового суммирования в комплексных методах.

Итак, на первом уровне иерархииформируется много элементарных решений (прогнозов), а на втором уровне иерархииэти решения (прогнозы) «взвешиваются» и образуют выходное решение (прогноз).Реализация в ПС двухпороговой (двухуровневой) схемыпрогноза помогает выделить и использовать нужную для прогноза информацию опроцессе и существенно освободиться от ненужной и даже вредной информации.

Таким образом, комплексныйпрогноз на основе ПС целесообразен, так как он дает повышение точностипрогноза. Анализ практических алгоритмов комплексного прогноза показывает, чтоэтот прогноз получается линейной комбинацией отдельных прогнозов, взятых ссоответствующими весами. Точность комплексного прогноза, т. е. дисперсия ошибкипрогноза, зависит от дисперсий ошибок прогнозов комплексируемымиметодами, весов прогнозов этими методами и коэффициента корреляции между ихошибками прогноза. Поэтому точность комплексного прогноза возрастает суменьшением дисперсий ошибок прогноза комплексируемыхметодов и снижением указанного коэффициента корреляции. Проведенные зарубежныеисследования показали, что наилучшим комплексным прогнозом являетсянеограниченная по весам линейная комбинация прогнозов, включающая свободныйчлен [34].

Рассмотрим еще один важныйвопрос, связанный с обеспечением независимости прогнозов различными входящими вПС методами, при работе от общего источника входной информации.

Анализ весовых функцийразличных прогнозирующих фильтров показывает, что они существенно отличаютсядруг от друга, в результате чего прогнозы одного и того же сигнала различнымипрогнозирующими фильтрами также существенно отличаются друг от друга. Анализ конкретных математических выражений как для импульсныхпереходных функций (непрерывный сигнал), так и для весовых функций (дискретныйсигнал) показывает, что изменение ошибки прогноза от перехода при обработкеобщего входного сигнала к другому прогнозирующему фильтру определяется суммойпроизведений разностей значений весовых или импульсных функций этих фильтров назначения функции ковариации в момент обработки [35]. Это означает, чтопри наличии в ПС разнородных прогнозирующих фильтров, имеющих различные весовыеили импульсные переходные функции, ошибки прогноза этими фильтрами могут бытьнезависимыми, что, в свою очередь, создает условия для повышения точностикомплексного прогноза при работе ПС от общего источника входной информации.

Центральным моментом при комплексной обработке отдельныхпрогнозов является определение их весов, с которыми эти прогнозы входят воценку комплексного прогноза. Другими словами, задача комплексированияпрогнозов — это в основном задача определения их весов в комплексном прогнозе.

В простейшем случае при комплексировании прогнозовиспользуются их равные веса. Такая обработка может давать максимальную точностькомплексного прогноза при независимости и равноточностиобрабатываемых прогнозов, что в процессе работы ПС на РК практически невозможнообеспечить. Поэтому в общем случае оптимальные веса различных прогнозовопределяются обратно пропорционально ошибкам этих прогнозов, т. е. на основематрицы ошибок прогнозов. Существует очень много практических алгоритмовопределения весов отдельных прогнозов при их комплексировании, которые ввидуограниченности объема статьи здесь не приводятся [36].

Отметим еще один важный момент при определении весовотдельных прогнозов. Некоторые специалисты считают, что матрица ошибокотдельных прогнозов должна быть фиксированной. Однако другие специалистыутверждают, что матрица ошибок прогнозов должна обновляться на каждом шагепрогноза [37]. В предлагаемой ПС матрица ошибок исоответственно веса комплексируемых прогнозовобновляются на каждом шаге прогноза.

В заключение рассмотрим задачу контроля работы ПС по ошибкекомплексного прогноза с помощью следующих критериев:

  • средняя ошибка прогноза, которая при нарушении нормальной работы ПС устойчиво отклоняется от нуля;
  • коэффициент автокорреляции между ошибками прогноза, увеличение которого свидетельствует о нарушении нормальной работы ПС;
  • кумулятивная сумма ошибок прогноза, которая при нормальной работе ПС обычно флюктуирует около нуля;
  • использование следящего сигнала [12, 38].

Результаты моделирования работы ПС

Перечень моделируемых распределений цен на РК включал в себянаиболее известные распределения случайных временных рядов: экспоненциальное,равномерное, Релея и Гаусса. Моделирование осуществлялось во всем реальном иожидаемом диапазонах цен на РК.

Моделируемая ПСсостояла из следующих методов прогноза:

а) метод ЭС 1-го порядка;

б) метод линейной АР по одному прошлому значению процесса;

в) метод линейной АР по двум прошлым значениям процесса;

г) метод линейной АР по трем прошлым значениям процесса;

д) метод нелинейной АР 2-го порядка по двум прошлым значениям процесса;

е) метод движущейся средней;

ж) метод автокорреляции по трем прошлым значениям процесса.

В качестве комплексных методов прогноза в ПС использовались:

а) средняя арифметическая прогнозов;

б) средняя геометрическая прогнозов;

в) средняя квадратическая прогнозов;

г) средняя гармоническая прогнозов, предназначенная для выявления циклов на РК. Следует здесь отметить, что если различные прогнозы базируются на одной и той же входной информации (как в ПС), то наиболее точной оценкой комплексного прогноза будет именно средняя гармоническая или средневзвешенная гармоническая от различных прогнозов. Доказательство этого утверждения было опубликовано в работе [39];

д) средняя взвешенная прогнозов;

е) средняя регрессионная прогнозов;

ж) средняя арифметическая нескольких комплексных прогнозов;

з) средняя взвешенная нескольких комплексных прогнозов.

Краткие результаты моделирования работы ПС:

а) средняя арифметическая ошибка комплексного прогноза для всех исследованных случайных процессов равна нулю или пренебрежимо мало отличается от него, что свидетельствует об отсутствии в прогнозах систематической ошибки (несмещенность) и о работе ПС в классе собственных функций;

б) среднее арифметическое значение относительной ошибки комплексного прогноза, представляющей собой отношение СКО ошибки комплексного прогноза к СКО исследуемого процесса и известной в [11] как коэффициент расхождения Тейлора (Taylor), составляет величину 0,73, что свидетельствует об эффективности прогноза на основе ПС;

в) коэффициент Дарбина-Уотсона из [11] составляет величину 2,0, что свидетельствует об отсутствии автокорреляции между последовательными ошибками комплексного прогноза;

г) введение в оценки характеристик исследованных случайных процессов реальных ошибок их измерений (шумов) показало, что эффективность работы ПС практически не снижается, хотя количество итераций в методах адаптивной фильтрации возрастает с 9—10 до 30—32;

д) прогнозирование характеристик случайных процессов с различными трендами к снижению эффективности работы ПС не приводит;

е) взаимная связь между оценками и ошибками прогноза, полученными от различных по своей структуре и принципу работы методов, в одном временном сечении практически отсутствует;

ж) точность комплексного прогноза с увеличением количества входящих в ПС методов прогноза возрастает. Однако существенное замедление роста точности этого прогноза наступает уже после включения в ПС 4—7 разнородных методов прогноза, имеющих независимые ошибки прогноза.

Таким образом, результаты моделирования подтверждаютэффективность комплексного прогноза на основе ПС в широком диапазонехарактеристик случайных процессов.

Общий анализ результатов моделирования показал, что в 73случаях из 100 комплексный прогноз лучше прогноза отдельным методом, а востальных случаях комплексный прогноз не хуже наилучшего прогноза отдельнымметодом. Это значит, что для тех специалистов РК, которые в качестве меры рискабудут использовать СКО ошибки прогноза, комплексный прогноз будет даватьснижение риска операций на РК на 27%.

В заключение отметим заложенные в ПС принципы адаптации:

а) наличие в ПС ряда отдельных разнородных методов прогноза обеспечивает ей свойство робастности, т. е. нечувствительности к нарушению различных условий и предпосылок;

б) адаптация ПС к возможным изменениям в случайном процессе на РК (обычные скачки, сдвиги и др.) осуществляется за счет расчета на каждом шаге прогноза:

  • текущего среднего арифметического систематической ошибки прогноза и исключения этой ошибки из всех оценок прогнозов;
  • коэффициентов уравнений АР по МНК и их уточнения по методу адаптивной фильтрации;
  • мгновенного и текущего значений нормированных коэффициентов линейной автокорреляции;
  • мгновенного и текущего значений постоянной ЭС и др.

Таким образом, в процессе работы ПС следует за прогнозируемымпроцессом, а описанная адаптивность ПС еще более подчеркивает ее близость к перцептронным системам прогнозирования и распознавания.

Примечание: Для облегчения понимания идей статьи ее материализложен в предельно сжатом виде без соответствующих математических выкладок,табличной и графической информации. Несомненно, такая информация у автора имеется, и она может быть представлена припервой необходимости.

Выводы

  1. Российская экономика длительное время была плановой, и лишь недавно ее статус был признан международным экономическим сообществом как рыночный. Это значит, что российская экономическая наука находится в стадии становления, поэтому разработка математических методов для этой экономики вообще и для ее рынков капитала в частности является чрезвычайно актуальной.
  2. Анализ результатов математических исследований рынков капитала показывает, что как гипотеза эффективного рынка, так и гипотеза фрактального рынка имеют свои достоинства и недостатки. К настоящему времени убедительные теоретические и практические доказательства для принятия одной гипотезы и отклонения другой отсутствуют.
  3. Результаты анализа существующего состояния математических исследований рынков капитала свидетельствуют о том, что для оптимизации управления инвестиционным процессом на рынках капитала необходима разработка прогнозирующей системы.
  4. Разработана и предложена к внедрению прогнозирующая система, основными достоинствами которой являются:
  • адаптация при оценке и прогнозе цен на рынках капитала к конкретному виду анализируемого случайного процесса;
  • обеспечение приемлемой точности оценки и прогноза цен и реализация на этой основе оптимального в среднем поведения на рынках капитала;
  • возможность использования в качестве меры риска на рынках капитала СКО ошибки прогноза;
  • при условии внедрения в прогнозирующую систему алгоритмов теоремы Котельникова эта система может прогнозировать приближение резких подъемов и спадов на рынках капитала.

Таким образом, предложенная для рынков капитала универсальнаяпрогнозирующая система является мощным средством управления инвестиционнымпроцессом.

Литература

  1. Маковецкий М. Ю. Ключевые тенденции в развитии рынка ценных бумаг // Финансы и кредит. — 2001. — 12.
  2. Шенаев В. Н. Источники инвестиций в российскую экономику // Бизнес и банки. — 2002. — 46.
  3. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000.
  4. Вучков И. и др. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987.
  5. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей / Изв. АН СССР: сер. «Матем.». Вып. 1. — 1941. — № 5,
  6. Яглом А. М. Примеры оптимального нелинейного экстраполирования стационарных случайных процессов // Труды 6-го Всес. сов. по теор. вер. и матем. статистике. Вильнюс, 1962.
  7. Идельсон Н. И. Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений. М.: Гостехиздат. — 1947.
  8. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука. — 1969.
  9. Готовчиков И. Ф. Проблемы разработки, внедрения и эксплуатации информационныхх технологий в коммерч. банках // Финансовый менеджмент. — 5. — 2001.
  10. Готовчиков И. Ф. Методы управления горизонтом планирования деятельности коммерческих банков. — Бизнес и Банки. — 38-39. — 2002.
  11. Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1975.
  12. Trigg D. W., Leach A. G. Exponential Smoothing with Adaptive Response Rate, Oper. Res. Quart. V.18. № 1. 1967.
  13. Davisson L. D. Theory of adaptive filtering, IEEE Trans. on IT. V. 12. 1966. № 2.
  14. Wheelwright S. C. Forecasting with adaptive filtering, Autom. Inf. Rech. Oper., 7, 1, 1973.
  15. Theil H., Wage S. Some observations on adaptive forecasting, Man. Sci. V. 10. 1964. № 2.
  16. Carlson C. Adaptive filtering: once more with Gusto, J. Oper. Res. Soc. V. 35, 1984. № 4.
  17. Ekern S. Forecasting with adaptive filtering, Oper. Res. Soc. Quart. V. 27, 1976.
  18. Golder E. R., Settle I. G. On adaptive filtering, Oper. Res. Quart. V. 27, 1976.
  19. Chatfield C. Adaptive filtering:a critical assesment, J. Oper. Res. Soc. V. 29, 1978.
  20. Готовчиков И. Ф. Методы индивидуального прогноза состояния сложных систем, ПБП № 8, ВИНИТИ, 1981.
  21. Готовчиков И. Ф. Методы прогнозирования состояния сложных систем, НКК № 12, Изд. Стандарты, 1982.
  22. Готовчиков И. Ф. Исследование методов повышения готовности и эффективности сложных систем // Сб. тр. в/ч 48230, 1981.
  23. Готовчиков И. Ф. Комплексное прогнозирование характеристик случайных процессов // Сб. тр. в/ч 48230, 1982.
  24. Редкозубов С. А. Статистические методы прогнозирования в АСУ. М.: Энергоиздат, 1981.
  25. Растригин Л. А. и др. Метод коллективного распознавания. М.: Энергия, 1981.
  26. Лисичкин В. А. Теоретические и методологические вопросы научно-технического прогнозирования. М.: 1969.
  27. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М.: Статистика, 1979.
  28. Bordley R. F. The Combination of Forecasts: a Bayesian Approach, Oper. Res. Quart. V. 33. 1982. № 2.
  29. Bunn D. W. A Bayesian Approach to Linear Combinations of Forecasts, Oper. Res. Quart. V. 26. 1975. № 2i.
  30. Bates J. M., Granger C. W. J. The Combinations of Forecasts, Oper. Res. Quart. V. 20. 1969. № 4.
  31. Harrison P. J., Stevens G. F. A. A Bayesian Approach to short term Forecasting, Oper. Res. Quart. V. 22. 1971. № 4.
  32. Newbold P., Granger C. W. J. Experience with forecasting univariate time series and the combinations of forecasts, J. Royal Stat. Soc. V. 37. Part 2. Serie A. 1974.
  33. Wheelwright S. Selecting a Forecasting Technique with Aid of Simulation, Man. Des. V. 10. 1972. № 1.
  34. W. J. Clive Granger, Ramu Ramanathan Improved Methods of Combining Forecasts, J. of Forec. V. 3. 1984. № 2.
  35. J. V. The Effects of Parameter Misspecification and Non-Stationarity on the Applcabability of Adaptive Forecasts, Man. Sci. V.12. 1966. № 9.
  36. Robert T. Clemen Linear Constraints and the Efficiency of Combined Forecasts, J. of Forec. V. 5. № 1. 1986.
  37. Diebold F. X. Structural Change and the Combination of Forecasts, J. of Forec. V. 6. 1987. № 1.
  38. Brown R. G. Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series, №. Y. Prentice Hall, 1963.
  39. Good I. J. The Interface between Statisics and Philosophy of Science, Stat. Sci. V. 3. 1988. № 4.

 

 

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/



Все права принадлежат Издательству «Финпресс» Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом материалов допускается только с письменного разрешения Издательства «Финпресс».