Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности

профессор кафедры математического моделирования
экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ
 
Яновская Е.В.,
аспирант кафедры Математического моделирования
экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ

Введение

Принятие решений является одним из важнейших аспектов различных областей жизни и трудовой деятельности людей. Качественные характеристики эффективного решения во многом опираются на количественный научно обоснованный подход, использующий серьезный математический аппарат.

Во многих задачах финансово-экономической сферы принятие решения осложняется наличием неопределенности, заключающейся в неполноте информации об окружающей эти задачи среде ([1], [2], [5]-[7]). Неопределенность такого типа порождается различными объективными причинами, как то: экономическая и финансовая политика государства, реформы в системе налогообложения, курс валюты, инфляция и т.п. Поэтому в задачах подобного рода принятие решения зависит от объективной действительности, называемой в соответствующей математической модели «природой». Сама же математическая модель называется «игрой с природой», а совокупность принципов и методов построения критериев для принятия оптимальных решений составляет раздел математики «Теория игр с природой», или, другими словами, «Теория статистических решений» ([6], [7]). Таким образом, в игре с природой участвуют два игрока: один из них, обозначим его через А, - лицо, принимающее решение; другой, обозначим его через П, - природа. Игрок А действует осознанно, стремясь принять наиболее выгодное для себя решение, а природа П, в отличие от него , принимает то или иное свое состояние неопределенным образом, не противодействуя злонамеренно игроку А, не преследуя конкретной цели и абсолютно безразлично к результату игры, т.е. природа П, являясь игроком в игре, не является ни противником, ни союзником игрока А.

Пустьигрок А обладает m возможнымистратегиями А₁,…,А_m, а природа П может находиться в одном из n своих состояний П₁,…,П_n. Предполагается обычно, что игрок А в состоянии оценить результатывыбора им каждой из своих стратегий А_i, i=1,…,m, при каждом состоянии природы П_j, j=1,…,n, количественно выражающиеся действительными числами а_ij.

Этичисла, называемые выигрышами игрока А, можно записать в виде матрицы

размераm x n, строкикоторой соответствуют стратегиям игрока А, столбцы – состояниям природы П.

Задачаигрока Асостоит в выборе оптимальной стратегии, обеспечивающей ему максимальновозможный выигрыш. Поскольку стратегии А_i, i=1,…,m,выбираются игроком Аосознанно, а не случайно, то их называют чистымистратегиями, в отличие от смешанных стратегий, которые в данной статье нерассматриваются.

Еслив распоряжении игрока Авсего одна стратегия А₁,т.е. m=1, то проблема выбора им оптимальной стратегииотпадает. Поэтому в дальнейшем целесообразно считать m³2.

Еслиприрода П может пребывать только водном состоянии П₁, т.е. n=1, топроблема выбора игроком Аоптимальной стратегии превращается в тривиальную: игрок А должен выбрать стратегию А_kтакую, что выигрыши а_k1³a_i1, i=1,…,m. Поэтомубудем предполагать , что n³2.

Есликакая-нибудь k-я строка матрицы Адоминируется (в частности, дублируется) другой s-й строкой, т.е. (а_k1,…,a_kn)£(a_s1,…a_sn)(в частности, (а_k1,…,a_kn)=(a_s1,…a_sn)),то доминируемую (в частности, дублируемую) k-ю строку можно удалить, как строку, определяющую стратегию А_k, заведомо не лучшую стратегии А_s. В результате матрица Аупрощается за счет уменьшения числа строк. Таким образом, в дальнейшем будемсчитать, что матрица А не содержит доминируемых (в частности, дублируемых строк).

Если известны вероятности состояний природы

q₁=p(П₁),…,q_n=p(П_n),

которые,очевидно, должны удовлетворять условиям:

(1)

(посколькусобытия, состоящие в том, что природа П находится в одном из своих состояний П₁,…,П_n,несовместны и составляют полную группу), то говорят о принятии решения «вусловиях риска». Если же вероятности, с которыми природа П может находиться в том или иномиз своих состояний, неизвестны и отсутствует возможность получения о них какойлибо статистической информации, то говорят о принятии решения  «в условиях неопределенности».

Понятиеоптимальности стратегии может определяться различными соображениями,составляющими содержание соответствующих критериев оптимальности.

В[3] были проведены некоторые общие соображения относительно конструированиякритериев оптимальности различных классов в играх с природой, базирующиеся навведенной в рассмотрение функции игры, которая зависела от выигрышей, рисков ивероятностей состояний природы.

Внастоящей статье мы предложим модифицированный подход к описанию общей методикиформирования критериев относительно выигрышей, применимой к выбору оптимальных стратегий как в условиях риска, так и в условияхнеопределенности; покажем, как некоторые известные критерии: Байеса ([1], [2],[5], [7]), Лапласа ([1], [2], [5], [7]), Вальда ([1]– [7]), Ходжа-Лемана ([7]), Гермейера([7]), критерий произведений ([7]), максимаксныйкритерий ([1] – [7]), критерий Гурвица ([1] – [7]) и обобщенный критерийГурвица ([4], [5]) вписываются специальным образом в предлагаемую схему.

Приведемпример из финансовой области.

1. Общаяметодика формирования критериев

Сутьпредлагаемой методики формирования критериев заключается в реализации следующихпунктов.

1) Из выигрышей а_ij, i=1,…,m; j=1,…,n, игрока А составляем матрицу А, предполагая, что она удовлетворяет указанным выше условиям: m³2, n³2 и она не содержит доминируемых (в частности, дублируемых) строк.

Выигрышиа_ij игрока А, представленные в виде матрицы А, дают возможностьлучшего обозрения результатов выбора стратегий А_i, i=1,…,m, игроком Апри каждом состоянии природы П_j, j=1,…,n.

2) Фиксируем распределение удовлетворяющих условию (1) вероятностей q_j=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…n, разумеется, если они известны. Таким образом, пункт 2 участвует в методике формирования критерия в случае принятия решения в условиях риска.

3) На основании пунктов 1 и 2 выбираем натуральное число l, 1£l£n, и определенным образом строим матрицу

размераm x l. Построениеконкретной матрицы В порождается содержательнойидеей формируемого критерия.

4) Выбираем l из чисел l₁,…, l_l, удовлетворяющих условиям

Назовем их коэффициентами формируемого критерия. Онипризваны играть роль количественных оценок некоторых субъективных проявленийигрока А(лица, принимающего решение), а именно степени доверия к распределениювероятностей состояний природы и степени его пессимизма (оптимизма) припринятии решений.

5) Используя матрицу В и коэффициенты l₁,…, l_l, каждой стратегии А_i, i=1,…,m, игрока А поставим в соответствие число

котороеназовем показателем эффективности А_i.

Такимобразом, показатель эффективности G_i стратегии А_i, i=1,…,m, учитываетопределенным образом выигрыши игрока А при этойстратегии, вероятности состояний природы (если они известны) и его субъективныепроявления при выборе наиболее эффективной стратегии.

6) Определим цену игры G в чистых стратегиях как максимальный показатель эффективности стратегий А_i, i=1,…,m, т.е.

7) Определим оптимальную стратегию.

Оптимальной стратегией назовем стратегию А_k с максимальным показателем эффективности, другимисловами, - стратегию, показатель эффективности G_k которой совпадает с ценой игры G:

Понятно, что такое определение  оптимальной стратегии не влечет ееединственности.

Отметим, что по логике этого пункта игрок А, выбираяоптимальную стратегию, максимизирует показатель G_i(см. (5)). Это обстоятельствооправдывает то, что этот показатель мы назвали (в пункте 5) показателем эффективности.

2. Формирование некоторых известных критериев – частные случаи общей методики. 

КритерийБайеса ([1], [2], [5], [7]).

1) Пусть А является матрицей выигрышей игрока А.

2) Известны вероятности q_j=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1). Следовательно, речь идет о принятии решения в условиях риска.

3) Полагаем l=n и матрицу В выбираем равной матрице А, т.е.

b_ij=a_ij для всех i=1,…,m и j=1,…,n.

4) Коэффициенты l₁,…,l_n, выбираем равными соответствующим вероятностям q₁,…,q_n, т.е. l_l=q_i, i=1,…,n. Этим самым игрок А выражает полное доверие к истинности распределения вероятностей q₁,…,q_n, состояний природы.

Из (1) следует, что коэффициенты l_j, j=1,…,n удовлетворяют условию (3).

5) Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса обозначим через В_i и находим его по формуле (3):

Очевидно, что В_i – средневзвешенный выигрыш при стратегии А_i с весами q₁,…,q_n.

Если стратегию А_iтрактовать как дискретную случайную величину,принимающую значения выигрышей при каждом состоянии природы, то вероятностиэтих выигрышей будут равны вероятностям состояний природы и тогда В_i есть математическое ожидание этой случайной величины(см. (6)).

6) Цена игры по критерию Байеса, обозначаемая нами через В, определяется по формуле (4):

7) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса является стратегия А_k, для которой показатель эффективности максимален:

В_k=В.

Критерий Лапласа ([1], [2], [5], [7]).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Исходя из теоретических, либо из практических соображений, констатируется, что ни одному из возможных состояний природы П_j, j=1,…,n, нельзя отдать предпочтения. Потому все состояния природы считают равновероятностными, т.е. q_j=n^-1, j=1,…,n. Этот принцип называют принципом «недостаточного основания» Лапласа. Вероятности q_j=n^-1, j=1,…,n, удовлетворяют условию (1).

Поскольку вероятности состояний природы известны: q_j=n^-1, j=1,…,n, то мы находимся в ситуации принятия решения вусловиях риска.

3) Пусть l=n, а в качестве матрицы В можно взять матрицу, получающуюся из матрицы А, если каждую строку последней заменить на произвольную перестановку ее элементов. В частности, можем положить В=А. В общем же случае элементы матрицы В имеют вид b_ij=a_ikj(i), i=1,…, m; j=1,…,n, где a_ik1(i), a_ik2(i),…,a_ikn(i) – некоторая перестановка элементов a_i1, a_i2,…,a_in i-й строки матрицы А.

4) Пусть коэффициенты l_j=n^-1, j=1,…,n. Очевидно, они удовлетворяют условию (2).

Выбор коэффициентов l_j, j=1,…,n, таким образом подтверждает полное доверие игрока А к принципунедостаточного основания Лапласа.

5) По формуле (3) показатель эффективности стратегии А_i по критерию Лапласа, обозначаемый нами через L_i, равен:

Это есть средний арифметический выигрыш при стратегии А_i.

6) Цена игры по критерию Лапласа, обозначаемая нами через L, по формуле (4):

(8)

7) Оптимальной стратегией А_k по критерию Лапласа является стратегия с максимальным показателем эффективности:

L_k=L.

Заметим, что, как следует из (7) и (8), показатель эффективности L_i будет максимальным тогда и только тогда, когда максимальной будет сумма , и потому в качестве показателя эффективности стратегии А_i можно рассмотреть число , а в качестве цены игры – число .

Тогда оптимальной будет стратегия, сумма выигрышей прикоторой максимальна.

Критерий Вальда ([1] – [7]).

1) Предположим, что А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую-либо статистическую информацию. Поэтому игрок А находится в ситуации принятия решения в условиях неопределенности.

3) Пусть l=1 и

т.е. матрица В представляетсобой вектор столбец размера m x 1.

4) Пусть коэффициент l₁=1. Очевидно, условие (2) выполняется.

5) Обозначим показатель эффективности стратегии А_i по критерию Вальда через W_i. В силу (9) и значения коэффициента l₁=1, по формуле (3) имеем:

Таким образом, показатель эффективности стратегии А_i по критерию Вальда естьминимальный выигрыш игрока А при применении им этой стратегии.

6) Цена игры по критерию Вальда, обозначим ее через W, находится по формуле (4):

7) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда является стратегия А_k с максимальным показателем эффективности:

W_k=W.

Другими словами, оптимальной среди чистых стратегий покритерию Вальда считается та чистая стратегия, прикоторой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышейвсех чистых стратегий.Такимобразом, оптимальная стратегия по критерию Вальдагарантирует при любых состояниях природы выигрыш, не меньший максимина:

В силу (10), критерий Вальдаявляется критерием крайнего пессимизма игрока А, а количественным выражениемэтого крайнего пессимизма является значение коэффициента l_1, равное1. Игрок А,принимая решение, действует по принципу наибольшей осторожности.

Хотя арабская пословица и гласит: «Кто боитсясобственной тени, тому нет места под солнцем», - тем не менее этот критерийуместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть. Использованиепринципа Вальда в обиходе подтверждается такимипоговорками как «Семь раз отмерь – один раз отрежь», «Береженого Бог бережет»,«Лучше синица в руках, чем журавль в небе».

Критерий Ходжа-Лемана [7].

1) Предположим, что матрицей выигрышей игрока А является матрица А.

2) Известны вероятности q_i=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1).

Таким образом, игроку А надлежит принимать решение вусловиях риска.

3) Пусть l=2,

• показатель эффективности стратегии А_i по критерию Вальда,

• показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса.

Матрица В примет вид

т.е. b_i1=W_i, b_i2=B_i,i=1,…,m.

4) Коэффициенты l₁, l₂ выбираются следующим образом:

Очевидно, что эти коэффициенты удовлетворяют условию(2).

5) По формуле (3), с учетом (11), (12), и (13), показатель эффективности стратегии А_i по критерию Ходжа-Лемана равен:

В правой части формулы (14) коэффициент lÎ[0, 1] есть количественный показатель степени доверия игрока А данномураспределению вероятностей q_i=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…,n, а коэффициент (1-l) характеризуетколичественно степень пессимизма игрока А.Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состоянийприроды, тем меньше пессимизма и наоборот.

6) Цену игры по критерию Ходжа-Лемана находим по формуле (4):

7) Оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана является стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности:

G_k=G.

Отметим, что критерий Ходжа-Леманаявляется как-бы промежуточным критерием междукритериями Байеса и Вальда. При l=1, из (14) имеем:G_i=B_i и потому критерий Ходжа-Леманапревращается в критерий Байеса. А при l=0, из (14): G_i=W_iи, следовательно, из критерия Ходжа-Лемана получаемкритерий Вальда.

Критерий Гермейера [7].

1) Пусть матрица А является матрицей выигрышей игрока А.

2) Даны вероятности q_i=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1).

Т.о. игрок Анаходится в ситуации принятия решений в условиях риска

3) Положим l=1 и

Таким образом, матрица Впредставляет собой вектор столбец

размера m x 1.

4) Полагаем l₁=1. Условие (2), очевидно, выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Гермейера определяем по формуле (3) с учетом (15) и того, что l₁=1:

Если игрок А придерживается стратегии А_i, то вероятность выигрыша a_ij при этой стратегии и при состоянииприроды П_j равна, очевидно, вероятности q_jэтого состояния природы. Поэтому формула (16) показывает, что показательэффективности стратегии А_i по критерию Гермейера естьминимальный выигрыш при этой стратегии с учетом его вероятности.

6) Цена игры по критерию Гермейера определяется по формуле (4):

7) Оптимальной стратегией по критерию Гермейера считается стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности:

G_k= G

Заметим, что критерий Гермейераможно интерпретировать как критерий Вальда,применимый к игре с матрицей

Критерий Гермейера так же,как и критерий Вальда является критерием крайнегопессимизма игрока А,но, в отличие от критерия Вальда, игрок А, принимая решение с максимальнойосмотрительностью, учитывает вероятности состояний природы.

В случае равномерного распределения вероятностейсостояний природы: q_j=n^-1, j=1,…,n,показатель эффективности стратегии А_i, всилу формулы (16), будет равен G_i=n^-1a_ij и , следовательно, критерий Гермейера эквивалентен критерию Вальда, т.е. стратегия, оптимальная по критерию Гермейера, оптимальна и по критерию Вальда, и наоборот.

Критерий произведений [7].

1) Пусть матрицей выигрышей игрока А является матрица А, все элементы которой положительны:

a_ij>0, i=1,…,m; j=1,…,n.

2) Известны вероятности q_j=p(П_j), j=1,…,n, состояний природы П_j, j=1,…,n, и удовлетворяют условию (1).

3) Пусть l=1 и

Значит матрица В является вектор-столбцом

размера m x 1.

4) Пусть l₁=1. Условие (2) выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии А_i по критерию произведений в соответствии с формулами (3) и (17) равен

.

6) Цена игры по критерию произведений вычисляется по формуле (4):

7) Оптимальной стратегией по критерию произведений является стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности:

G_k=G.

Отметим, что для критерия произведений являетсясущественным положительность всех состояний вероятностей состояний природы ивсех выигрышей игрока А.

Максимаксный критерий ( [1].-[7] ).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятность состояний неизвестны. Решение принимается в условиях неопределенности.

3) Пусть l=1 и

Значит, матрица В является вектор-столбцом

размера m x 1.

4) Коэффициент l₁ выбираем равным 1: l₁=1. При этом условие (2), очевидно, выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии А_i по максимаксному критерию обозначим через М_i и определим его по формуле (3) с учетом (18) и того, чтоl₁=1:

Таким образом, показатель эффективности стратегии А_iпо максимаксному критериюесть наибольший выигрыш при этой стратегии.

6) Цена игры по максимаксному критерию, обозначаемая нами через М, определяется по формуле (4):

Очевидно, что это есть наибольший элемент матрицы А.

7) Оптимальная стратегия по максимаксному критерию есть стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности:

M_k=M.

Из формулы (19) заключаем, что максимаксныйкритерий является критерием крайнего оптимизма игрока А. Количественно это выражается тем, что l₁=1. Этот критерий противоположен критерию Вальда. Игрок А, пользуясь максимаксным критерием, предполагает, что природа П будет находиться в благоприятнейшем для него состоянии, и, как следствие отсюда, ведет себя весьма легкомысленно, с «шапкозакидательским» настроением, поскольку уверен в наибольшем выигрыше. Вместе с тем, в некоторых случаях этим критерием пользуются осознанно, например, когда перед игроком А стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом. Бытовое отражение подобных ситуаций иллюстрируется поговорками: «Пан или пропал», «Кто не рискует, тот не выигрывает» и т.п.

Оптимальная стратегия по максимальному критериюгарантирует игроку А возможностьвыигрыша, равного максимаксу.

.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица с показателем оптимизма lÎ[0; 1] ([1] – [7]).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую–либо надежную статистическую информацию.

Таким образом, решение о выборе оптимальной стратегиибудет приниматься в условиях неопределенности.

3) Положим l=2. Элементы матрицы В

размера m x 2 определяются следующим образом:

4) Коэффициенты l₁ и l₂ выбираем следующим образом:

Тогда, очевидно, условие (2) выполняется.

5) Обозначим показатель эффективности стратегии А_i, по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица через Н_i. Тогда по формуле (3) с учетом (20) и (21):

В формуле (22) l - показательоптимизма, а (1-l) – показатель пессимизма игрока А при выборе им оптимальнойстратегии. Чем ближе к единице показатель оптимизма, тем ближе к нулюпоказатель пессимизма, и тем больше оптимизма и меньше пессимизма. И наоборот.Если l=0,5, то и

1-l=0,5, т.е. показатели оптимизма и пессимизмаодинаковы. Это означает, что игрок А при выборе стратегии ведет себя нейтрально.

Таким образом, число l выбирается впределах от 0 до 1 в зависимости от склонности игрока А к оптимизму или пессимизму.

6) Цена игры по критерию Гурвица Н определяется из формулы (5):

7) Оптимальная стратегия А_k по критерию Гурвица соответствует показателю эффективности

H_k=H

Критерий Гурвица является промежуточным междукритерием Вальда и максимакснымкритерием и превращается в критерий Вальда при l=0 и - в максимаксныйкритерий при l=1.

Обобщенный критерий Гурвица с коэффициентами l₁,…, l_n ([4], [5]).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятности состояний природы неизвестны. Так что решение принимается в условиях неопределенности.

3) Матрица В получается из матрицы А перестановкой элементов каждой ее строки в неубывающем порядке:

b_i1£b_i2£…£b_in,i=1,…,m.

Таким образом, в 1-м столбце матрицыВстоят минимальные, а в n-м столбце максимальные выигрыши стратегий. Другимисловами, в 1-м столбце матрицы В стоят показателиэффективности стратегий по критерию Вальда, а в n-м столбце– показатели эффективности стратегий по максимаксномукритерию.

4) Коэффициенты l₁,…, l_n выбираются удовлетворяющими условиям (2) соответственно различной степени склонности игрока А к оптимизму. При этом показателем пессимизма игрока А называется число

где  целая часть числа , а показателем оптимизма игрока А называется число

Очевидно, что l_р+l₀=1.

5) Показатель эффективности стратегии А_i по обобщенному критерию Гурвица определяется по формуле (3):

6) Цену игры по обобщенному критерию Гурвица определим по формуле (4):

7) Оптимальные стратегии находятся стандартно: А_k – оптимальная стратегия, если G_k=G.

Отметим, что обобщенный критерий Гурвица учитывает всевыигрыши при каждой стратегии, что необходимо для более полной картины эффективностистратегий. Отметим также, что некоторые из приведенных выше критериев являютсячастными случаями обобщенного критерия Гурвица.

Отметим, что если В=А,то коэффициенты l_j, j=1,…,n, можноформально интерпретировать как вероятности состояний природы и в, таком случае,обобщенный критерий Гурвица совпадает с критерием Байеса.

Если l_j=n^-1, j=1,…,n, то обобщенный критерий Гурвица превращается вкритерий Лапласа.

Если l₁=1, l₂=…=l_n=0, то обобщенный критерий Гурвица представляет собойкритерий Вальда.

При l₁=…=l_n-1=0, l_n=1, из обобщенного критерия Гурвица получаем максимаксный критерий.

Если l₁=1-l, l₂=…=l_n-1=0, l_n=l, где lÎ[0, 1], то обобщенный критерий Гурвица являетсякритерием Гурвица.

Если В=Аи q_i=p(П_j), j=1,…,n –вероятности состояний природы, удовлетворяющие условиям (1), то выбрав коэффициентыl_j, j=1,…,n, следующимобразом: l₁=1-l+lq₁, l_j=lq_j, j=2,…,n, где lÎ[0, 1], мы из обобщенного критерия Гурвица получимкритерий Ходжа Лемана.

3. Пример

Допустим, инвестор принимает решение о строительствежилья определенного типа в некотором месте. Инвестор действует в условияхнеопределенности (информационной непрозрачности) на рынке жилья. Чтобы сформироватьпредставление о ситуации на рынке жилья на момент завершения строительства емунеобходимо учесть цены на недвижимость, конкуренцию на рынке жилья, соотношениепредложения и спроса, курсы валют и многое другое. Статистические данныесвидетельствуют о том, что одной из главных составляющих стоимости жильяявляется место его расположения.

Рассмотрим математическую модель данной ситуации. Мы имеемигру с природой, где игрок А –инвестор, природа П– совокупность возможных ситуаций на рынке жилья на момент завершениястроительства, из которых можно сформировать, например, пять состояний П₁, П₂, П₃,П₄, П₅ природы. Известны приближенные вероятности этихсостояний q₁=p(П₁)»0,30; q₂=p(П₂)»0,20; q₃=p(П₃)»0,15; q₄=p(П₄)»0,10; q₅=p(П₅)»0,25. Предположим, что игрок А располагает четырьмя (чистыми)стратегиями А₁, А₂, А₃, А₄, представляющими собой выборопределенного места для постройки жилья. Множество этих мест ограниченоградостроительными решениями, стоимостью земли и т.д. Инвестиционнаяпривлекательность проекта определяется как процент прироста дохода по отношениюк сумме капитальных вложений, оценка которых известна при каждой стратегии и каждомсостоянии природы. Эти данные представлены в следующей матрице выигрышей игрока А:

размера 4 х 5, в последней,дополнительной строке которой указаны вероятностисостояний природы. Матрица (24) не содержит доминируемых(в частности, дублируемых) строк и все ее элементы положительны.

Инвестору предстоит выбрать участок земли так, чтобынаиболее эффективно использовать капиталовложения.

Подсчитаем показатели эффективности стратегий

• по критериям Байеса, Гермейера и критерию произведений при условии, что инвестор А доверяет данному распределению вероятностей состояний природы,
• по критерию Лапласа, если инвестор А не доверяет данному распределению вероятностей состояний природы и не может отдать предпочтения ни одному из рассматриваемых состояний природы,
• по критерию Ходжа-Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы, например, l=0,4,
• по критерию Вальда, максимаксному критерию, критерию пессимизма-оптимизма Гурвица с показателем оптимизма, например, l=0,6, и по обобщенному критерию Гурвица с коэффициентами, например, l₁=0,35; l₂=0,24; l₃=0,19; l₄=0,13; l₅=0,09.

Результаты подсчета показателей эффективности иоптимальные стратегии представлены в следующей таблице:

Таблица показателей эффективности и оптимальных стратегий

Заметим, что, поскольку, в критерии Ходжа-Лемана показатель доверия игрока А распределению вероятностейсостояний, указанных в последней строке матрицы (24), равен l=0,4, то показатель пессимизма игрока А равен 1-l=0,6.

В критерии Гурвица показатель оптимизма игрока А равен l=0,4 и, следовательно, показатель его пессимизма такжеравен 1-l=0,6.

В обобщенном критерии Гурвица по формуле (23) показатель пессимизма

= 0,35+0,24+0,5×0,19=0,685

и, следовательно, показатель оптимизма l₀=1-0,685=0,315.

Таким образом, во всех примененных критериях,учитывающих индивидуальные проявления игрока А к пессимизму и оптимизму, игрокА более склонен к пессимистическойоценке ситуации, чем к оптимистической, примерно с одинаковыми показателями.

В результате применения девяти критериев мы видим, что в качестве оптимальной стратегии А₁ выступает 3 раза, стратегия А₃ – 6 раз и стратегия А₄ – 1 раз. Поэтому, если у инвестора А нет никаких обоснованных серьезных возражений, то в качестве оптимальной можно рассматривать стратегию А₃. 

Литература 

1. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю., Барановская Т.П. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. – М.: Финансы и Статистика, 2001, 224 с.
2. Князевская Н.В., Князевский В.С. Принятие рискованных решений в экономике и бизнесе. – М.: Издательско-книготорговое объединение ЭБМ‑Контур, 1998, 160 с.
3. Лабскер Л.Г. О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой //Вестник Финансовой академии. – М.: 2000, №2, с. 61-76.
4. Лабскер Л.Г. Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица //Финансовая математика, М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001, с. 401-414.
5. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. – М.: Дело, 2001, 464 с.
6. Чернов В.А. Анализ коммерческого риска. – М.: Финансы и Статистика, 1998, 128 с.
7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели. Экономика.Финансы. Бизнес. – М.:ЮНИТИ, 2000, 356 с.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/