Статьи

Версия для печати

Все статьи | Статьи за 2002 год | Статьи из номера N2 / 2002

Математические расчеты на российском рынке акций: MW-метод

Огуряев Д.А.,


ООО ИК «Файненшл Бридж», начальник фондового отдела

Математические расчеты редко применяются на практике при работе с ценными бумагами. Причина этого — высокая волатильность и непредсказуемость, царящие на фондовых рынках. Так, никакая математическая модель не смогла бы спрогнозировать обвал на мировых рынках после террористических актов в США в сентябре 2001 г. Фондовым рынкам не хватает стабильности для адекватного отражения их в математических моделях. Дело в том, что существует масса внешних факторов, которые независимы от фондового рынка и в то же время могут оказывать на него серьезное влияние. Следует признать, что таких факторов достаточно много, а оценить их, даже теоретически, не представляется возможным. Отсюда напрашивается вывод о слабой применимости математического аппарата к прогнозированию фондового рынка. По большому счету, остается только анализировать исторические данные, выявляя и перенося некоторые закономерности в виде не особенно точных прогнозов на будущее. В простейшем случае математику стоит задействовать для статистического анализа, что мы и попытаемся сделать на примере российского рынка акций, характеризуемого индексом РТС (Российская торговая система), который показывает динамику отечественных акций в среднем (см. рис. 1). Будем оценивать вероятность получения заданной доходности на выбранном интервале инвестирования. Данная задача является весьма актуальной в условиях, когда инвестор находится перед выбором распределения средств между несколькими направлениями (облигациями, акциями и т.д.) при некоторых ограничениях на риски (вероятность потерь). Для этого инвестор должен знать соотношение доходность/риски, чтобы в зависимости от своих предпочтений выбрать для себя оптимальный вариант.

Динамика индекса РТС за 1995—2000 гг.

Рис. 1. Динамика индекса РТС за 1995—2000гг., пунктов

Одним из простейших методов в данномклассе задач является MW-метод (MW — Moving Window),заключающийся в использовании статистическогоанализа временных рядов с целью оценкидостижения требуемой доходности в расчете нанекоторый заранее заданный период. Кратко опишемданный метод.

Обозначим длину временного ряда через N,сам ряд через R, а его элементы через R(1), ...,R(N). В нашем случае в качестве значений рядабудем использовать значения индекса РТС запериод с 1995 по 2000 гг. Длину периода обозначимчерез Т. Сущность метода достаточно проста —по всему временному ряду двигается некотороеокно длин Т, и на каждом шаге собираетсястатистика доходности. Элементы окна обозначимчерез Wk(1), ..., Wk(Т), где k — положение началаокна в ряде R.

Таким образом, Wk (1) = R (k), ...,Wk(Т)=R(k + T – 1). Очевидно, для рядадлин N существует (N – Т + 1)различных окон длин Т.

Проходя слева направо по временномуряду R, будем рассматривать все окна длиной Т.Каждому окну соответствует некоторая доходность

D(k) = {[Wk(Т) – Wk (1)] / Wk(1)}x 100%,

где 1 < k < – T + 1.

На основании полученных данных можнопостроить функцию распределения F(x):

F(х) = [Количество D(k) < x]/ [Количество наблюдений].

Количество наблюдений = N – T + 1.

С помощью функции распределения можнооценить, например, с какой вероятностью приинвестировании на некоторый период Тдоходность будет лежать в том или ином диапазоне.

С практической точки зрения, используяданный метод, имеет смысл анализировать фондовыеиндексы с целью определения периодовинвестирования, на которых достигаетсятребуемая доходность.

Например, исследуя эффективностьинвестиций на период в 30 торговых дней по индексуРТС за весь 2000 г., мы получим, что F(0), т.е.вероятность получения отрицательной доходностипри инвестировании на данный период, составила0,62. Таким образом, вероятность полученияинвестором неотрицательной доходности приинвестировании на 30 дней в 2000 г. составила всего0,38. То есть скорее инвестор потеряет, чемвыиграет при инвестировании на данный срок.

Широко известна гипотеза, чтоинвестиции в акции приносят хорошую доходностьна длительных периодах. Данное утверждение легкопроверить с помощью нашей функции, взятой сразличными периодами. Проведя исследованиефункции F(0) с периодом в 30 торговых дней напромежутке 1995—2000 гг. включительно мы получим,что вероятность отрицательной доходностиоказалась равной 0,46. Проведя аналогичноеисследование с периодом в 60 торговых дней на томже временном промежутке, получим, чтовероятность отрицательной доходности составила0,4. То есть с увеличением периода инвестированиявероятность получения отрицательной доходностиснижается.

Для более точного подтверждениясправедливости гипотезы о зависимостидоходности от периода инвестирования можнопосмотреть на поведение функции F(0) на разныхпериодах. Например, будем исследовать поведениефункции F(0) на периодах от 10 до 90 дней с шагом в5 торговых дней на временном промежутке 1995—2000 гг.включительно (см. рис. 2). На приведенном нижеграфике можно увидеть динамику данной функции —по мере роста периода инвестированиявероятность получения отрицательной доходностипонижается. То есть гипотеза в целом справедлива.

Функция F(о) за 1995—2000 гг. (индекс РТС)

 Рис. 2. Функция F(о) за 1995—2000 гг.(индекс РТС)

Анализируя график, можно увидеть, чтоначиная с периода инвестирования в 60 торговыхдней, вероятность получения отрицательнойдоходности стабилизируется на уровне 0,39. Еслианализировать более длительные периоды (от 60 до150 дней), то там вероятность полученияотрицательной доходности по сравнению спериодом инвестирования в 60 дней снижаетсянезначительно. Таким образом, получается, чтоминимальный оптимальный период инвестированияна российском рынке акций составляет 60 торговыхдней.

Для сравнения приведем график функции F(0),построенный по американскому индексу Доу-Джонса(DJIA) за период с 1995 по 2000 гг. (см. рис. 3). Сравниваядва графика, можно наглядно увидеть, чтовероятность получения убытков на американскомрынке значительно ниже. Так, вероятностьполучить отрицательную прибыль приинвестировании на 100 торговых дней на российскомфондовом рынке составляет 0,39, тогда как наамериканском — 0,23. Очевидно, таким образом, чтопо уровню риска американские акции выглядятнамного безопаснее, чем российские.

Функция F(о) за 1995—2000 гг. (индекс DJIA)

 Рис. 3. Функция F(о) за 1995—2000 гг.(индекс DJIA)

В приведенных выше выкладках всоответствии с MW-методом анализируютсявсевозможные случаи инвестирования с заданнымпериодом Т на ряде данных R. Между темесли задать некоторое осмысленное правиловыбора начального периода инвестирования (точкавхода в рынок), то результативность можносущественно повысить. Так, не стоит приобретатьакции на пике роста, когда они уже заметновыросли. Например, если цены на акции по индексуРТС за последние 5 дней выросли более чем на 15%, сбольшой вероятностью в ближайшие 10 днейпоследует их понижательная коррекция.Следовательно, инвестировать в данной точке неимеет смысла. Знание подобных фактов позволяетотбросить явно неподходящие точки входа в рыноки в итоге существенно улучшить результативность.Так, при периоде инвестирования в 60 дней сиспользованием правила отсечениянеблагоприятных точек входа в рынок вероятностьполучения отрицательной доходности снижается с0,39 (при обычной F(x)) до 0,34 (F(x) с выборомначальной точки).

Функция F(x) представляет большойпрактический интерес, поскольку способнаотносительно точно оценить вероятностьполучения некоторой доходности на данномпериоде инвестирования. Например, часто стоитвопрос о вложении средств в российские акции илив некие активы с фиксированной ставкой процента.В этом случае функция F(x) сможет дать ответ, скакой вероятностью доходность акций превыситдоходность активов с фиксированной ставкойпроцента. В этом случае используется функция

Z(x) = 1 – F(x),

то есть

Z(x) = [Количество D(k) > X]/ [Количество наблюдений],

где k — порядковый номер окна.

В частности, при возможности инвестирования средств на одномесячный (22 торговых дня) депозит в банке или инвестирования в российские акции, очевидно, следует предпочесть одномесячный депозит. Этот выбор основывается на том, что на периоде в один месяц вероятность выйти в плюс по российским акциям эквивалентна вероятности выпадения орла в игре с подбрасыванием монеты (Z(0)  0,5).

В целом получается, что рискиинвестирования в российские акции достаточновелики: вероятность получения положительнойдоходности при инвестировании на срок от 30 до 200торговых дней составляет при этом от 0,6 до 0,7.Здесь возникает вопрос: насколько оправданнатакая высокая норма риска, какова премия за риск.Для ответа на этот вопрос обычно используютгистограмму, позволяющую оценить плотностьраспределения доходности на некотором периоде T,по внешнему виду которой также можно увидеть, покакому закону распределена та или иная случайнаявеличина. В качестве примера исследуемсоотношение риск/доходность по индексу РТС напромежутке 1995—2000 гг. На рисунке 4 приведенагистограмма MW-метода с периодом инвестирования в60 торговых дней. На оси X отложены доходностис шагом в 10%, на оси Y — частота в процентахпопадания доходности в данный интервал.Получилось, что на периоде в 60 дней максимальноезначение доходности составило +173%, минимальное —–82%. Отложим на шкале X доходности от –100% до+180%. По шкале Y отложим частоту (в процентах), скоторой доходность за 60-дневный период попадалав данный интервал.

Гистограмма распределения доходностей

 Рис. 4. Гистограмма распределениядоходностей

Как видно из графика, наибольшуювероятность при инвестировании на 60 дней имеетдоходность в промежутке от 0 до 10%. Внешнегистограмма очень напоминает плотностьнормального распределения.

В принципе, можно считать рискинвестиций в акции оправданным — вероятностьувеличить капитал в полтора раза составляетоколо 17%. С другой стороны, риск потерять половинукапитала составляет около 5%. Для определенногокруга инвесторов, склонных к повышенной нормериска, данные условия являются приемлемыми.

Для полноты картины интересно еще посчитатьматематическое ожидание (11%) исреднеквадратическое отклонение (40%).Среднеквадратическое отклонение показываетсредний разброс реальных значений отматематического ожидания. В нашем случае оно внесколько раз превышает ожидаемую прибыль, чтохарактеризует высокую волатильность российскихакций и, как следствие, высокие рискиинвестирования в них. На американском фондовомрынке порядок среднеквадратического отклонениязначительного ниже российского (7%), но зато иматематическое ожидание меньше (4,5%). Получается,Россия выглядит гораздо предпочтительнее вплане потенциальных доходов (11% против 4,5%), но, сдругой стороны, риск приобретения российскихакций значительно выше, чем американских (40%против 7%). Вложения в российские акции несут всебе повышенные риски, недопустимые для широкогокруга иностранных и отечественных инвесторов.Степень рискованности вложений в российскиеактивы, в частности, отражена в суверенномкредитном рейтинге «B1» (по классификации Standard &Poor`s), что ниже минимально допустимогоинвестиционного рейтинга «ВВ» (см. рис. 5).

Суверенный рейтинг России (S&P)

 Рис. 5. Суверенный рейтинг России(S&P)

На наш взгляд, основными источникаминестабильности в России являются политическиериски, слабая экономика, неразвитаяинфраструктура и низкая корпоративная культурабольшинства эмитентов, не заботящихся о своейкапитализации. Преодоление этих пороков вбудущем позволит российскому фондовому рынкувыйти на качественно новый уровень.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/



Все права принадлежат Издательству «Финпресс» Полное или частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом материалов допускается только с письменного разрешения Издательства «Финпресс».